正五角形の対角線と外接円

  正五角形において,一辺の長さを 1 とすると,
 
 [ 証 明 ]
  まず,正五角形の一辺の長さを 1 として考える.
 ∠CAD は弧 CD の円周角であるから,
      ∠CAD = ∠COD / 2 = 72°/ 2 = 36°
 同様に ∠ACE = ∠ADC = 36° また ∠ACD = ∠ADC = 72°
 △ACD,△CDL は頂角 36°の二等辺三角形,△LAC は頂角 108°の二等辺三角形であり
      AL = CL = CD = 1
 である.対角線の長さを AC = AD = x とすると,△ACD と △CDL は相似であるから
      AC:CD = CD:DL すなわち x:1 = 1:x - 1
 x > 0 を考慮して x 2 - x - 1 = 0 を解くと
      
 となる.次に,△ACD の高さ AM は
      
 外接円の半径 OA を r とすると,△ACN と △AMC は相似であるから
      AM:AC = AC:AN  より  r = x 2 / 2 AM
 したがって
      
 最後に
      
 となる.