△ACD,△CDL は頂角 36°の二等辺三角形,△LAC は頂角 108°の二等辺三角形であり
AL = CL = CD = 1
である.対角線の長さを AC = AD = x とすると,△ACD と △CDL は相似であるから
AC:CD = CD:DL すなわち x:1 = 1:x - 1
x > 0 を考慮して x 2 - x - 1 = 0 を解くと
となる.次に,△ACD の高さ AM は
外接円の半径 OA を r とすると,△ACN と △AMC は相似であるから
AM:AC = AC:AN より r = x 2 / 2 AM
したがって
最後に
となる.