正五角形の対角線と外接円

　　正五角形において，一辺の長さを 1 とすると，
　
　[ 証　明 ]
　　まず，正五角形の一辺の長さを 1 として考える．
　∠CAD は弧 CD の円周角であるから，
　　　　　　∠CAD = ∠COD / 2 = 72°/ 2 = 36°
　同様に　∠ACE = ∠ADC = 36°　また　∠ACD = ∠ADC = 72°
　△ACD，△CDL は頂角 36°の二等辺三角形，△LAC は頂角 108°の二等辺三角形であり
　　　　　　AL = CL = CD = 1
　である．対角線の長さを AC = AD = x とすると，△ACD と △CDL は相似であるから
　　　　　　AC：CD = CD：DL　すなわち　x：1 = 1：x - 1
　x > 0 を考慮して　x 2 - x - 1 = 0　を解くと
　　　　　　
　となる．次に，△ACD の高さ AM は
　　　　　　
　外接円の半径 OA を r とすると，△ACN と △AMC は相似であるから
　　　　　　AM：AC = AC：AN　　より　　r = x 2 / 2 AM
　したがって
　　　　　　
　最後に
　　　　　　
　となる．