シムソンの定理の応用

   

  三角形 ABC の外接円の周上の点 P からBC, CA, AB に垂線
  PL, PM, PN をひき,円と出あう点を X, Y, Z とするとき,AX, BY,
  CZ はシムソン線 NLM に平行になる。( ○をドラッグ )
  B, N, P, L は同一円周上にあるから,∠NBP=∠NLP また,
  A, B, P, X も同一円周上にあるから,∠NBP=∠AXP
  同位角が等しいから AX と LM は平行。
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  三角形 ABC の 3 頂点から垂線 AD,BE,CF をひき,D から
  AB,BE,CF,AC に垂線をひきその足を P,Q,R,S とすれば,
  この 4 点は同一直線上にある。
  H,F,B,D および H,E,C,D はそれぞれ同一円周上にある。
  よって D は △HFB および △HEC の外接円の周上にあるから
  PQR および QRSはシムソン線となり,4 点 P,Q,R,S は同一
  直線上にある。