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東工大・第１類 10 特別入試・４
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（問題） xyz 空間内の 3 つの部分集合 A = { (x，y，z) | |x|≦1，y2 + z2 ≦1 } B = { (x，y，z) | |y|≦1，x2 + z2 ≦1 } C = { (x，y，z) | |z|≦1，x2 + y2 ≦1 } の和集合 A∪B∪C の体積を求めよ。 対称性から x≧0，y≧0，z≧0 の部分の体積を求め，8 倍すれば よいでしょう。 上の図は A∪B∪C を平面 z = t で切った切り口です。切り口の 面積は t の値によって場合分けが必要となります。 S(t) を x≧0，y≧0 にある切り口の面積とすると 0≦t≦1/√2 のとき S(t) = 1 - ( 1- √(1-t2) )2 1/√2≦t≦1 のとき S(t) = (π/2 - 2θ)/2 + 2 √(1-t2) - t √(1-t2) 積分は t = cos θ とおいて置換積分をします。 (答) 6π-8√2 ○ をドラッグすると t の値が変化します。 戻る |