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直角三角形 ABC の斜辺 BC 上を点 P が動く．P から辺 AB，AC に 下ろした垂線の足をそれぞれ Q，R とする．△PQR の面積を最大に する点 P を求めよ． AB：RP = 1：x ( 0 < x < 1 ) とすると，△ABC，△RPC，△QBP は 相似で，相似比は 1：x：1 - x であるから， 2 △PQR = { 1 - x 2 - ( 1 - x ) 2 } △ABC = …… ゆえに △PQR は x = 1 / 2 のとき，最大値 △ABC / 4 をとる． ○ をドラッグして確認してみましょう．図で P を通る双曲線が描いて ありますが，△PQR が最大となるとき，この双曲線と BC とはどんな 関係になりますか．また，その理由も考えてみましょう．さらに，次の 証明も考えてみて下さい． 「双曲線上の点 P における接線と 2 つの漸近線との交点を B，C とするとき P は線分 BC の中点である．」 戻る |