東大 04・後期・理T・3

  [問題]
  xy 平面に点 ( -1,0) を中心とする半径1
  の円Aと,点 (1,0) を中心とする半径1の
  円Bをとる.円Aの内部をD,円Bの内部
  をEとする.
  (1) 点 ( -1+cosθ, sinθ) における円Aの
    接線を l とする.円Bの接線mが l と
    直交するとき,l とmの交点Pの座標
    をθを用いて表せ.

  ● をドラッグするとθが変化して
    点Q( -1+cosθ, sinθ )
  が円Aの周上を回転します.

  (2) 領域DにもEにも重ならないように1
    辺の長さが2の正方形を xy 平面内
    で動かすとき, この正方形が通りえ
    ない部分の面積を求めよ.

  この正方形が赤い線の外部を通ることは
  明らか.弧 OF と線分 GF,GO で囲まれ
  た部分がどれだけ減少するかを考える.
  θ が π/6 から π/4 まで変化するとき P
  が描く曲線のところまで GF が下がる.
  [答]
  (1) P(cosθ-cos2θ+sin2θ-sinθ,
          sinθ-2sinθcosθ+cosθ)
     P(cosθ-cos2θ+sin2θ+sinθ,
          sinθ-2sinθcosθ-cosθ)
  (2) 3√3-2+π
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